Исследуются численные решения обобщенного уравнения Кортевега ? Бюргерса, описывающего вол- ны при наличии ледового покрытия или поверхностного натяжения, являющегося также модельным уравнением для широкого класса моделей механики сплошной среды, в частности для модели электрон- ной магнитной гидродинамики. Рассмотрены два случая. В первом случае касательная к дисперсионной ветви пересекает ее вне начала координат, во втором случае такого пересечения нет. Во втором случае тип структуры разрыва определяется в результате решения системы уравнений, описывающих дисперси- онную ветвь, и уравнения прямой, соответствующей скорости разрыва. Если корни чисто мнимые, то возникает структура с внутренним бездиссипативным разрывом солитонного типа; если корни комплек- сные, то возникает структура с разрывом с излучением. Во втором случае такое исследование не дает полной информации. Применяется методика, основанная на анализе ветвей двоякопериодических реше- ний обобщенного уравнения Кортевега ? де Вриза. Установлено, что длинноволновая одноволновая ветвь состоит из фрагментов, переходящих в двухволновые резонансные ветви с целым отношением периодов волн. Для резонансных ветвей на определенных интервалах интенсивности разрыва можно найти бездис- сипативные структуры, позволяющие переходить с резонансной ветви на коротковолновую ветвь. Поэто- му, используя усредненные уравнения для волновых зон, можно построить решения для слабодиссипа- тивных структур разрывов, содержащие внутренние бездиссипативные резонансные разрывы. Решение с разрывом с излучением можно интерпретировать как частный случай таких решений с 1/1 резонансом. Такие решения наблюдаются при непосредственном расчете обобщенного уравнения Кортевега ? Бюр- герса с применением метода установления, причем на интервалах существования резонансных бездис- спативных структур наблюдается именно тот разрыв, который предсказывается аналитически. Проведе- но исследование зависимости типа разрыва от его интенсивности и диссипативного параметра. Помимо стационарных структур, обнаружены периодические по времени и стохастические структуры. Для неко- торых областей параметров наблюдается гистерезис: наличие двух стационарных решений при одних и тех же значениях параметров. Тип решения зависит от пути эволюции системы. Замечены бифуркации решений, характерные для общей теории динамических систем.
|
